Question

若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦点在x轴上，过点（1，

1

2

）做圆x²+y²=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是

 

．

Answer 1

分析：设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到AB的方程，将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB的方程，求出参数c，b；利用椭圆中三参数的关系求出a．，求出椭圆方程．

解答：解：设切点坐标为（m，n）则

n- 1 2

m-1

•

n

m

=-1即m2+n2-

1

2

n-m=0
∵m²+n²=1
∴m+

1

2

n-1=0
即AB的直线方程为2x+y-2=0
∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点
∴2c-2=0；b-2=0
解得c=1，b=2
所以a²=5
故椭圆方程为

x2

5

+

y2

4

=1
故答案为

x2

5

+

y2

4

=1

点评：本题考查圆的切线的性质、椭圆中三参数的关系：a²=b²+c²