Question

如图所示，设点A和B为抛物线y²=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：本题考查求动点轨迹的基本方法及综合应用解析几何知识分析问题、解决问题的能力．求圆锥曲线的动弦上的适合某条件的点的轨迹，常引入参数，然后根据题意求其轨迹方程．如题图所示，因点A、B在抛物线y2=4px上，设A、B两点坐标分别为A(，2pt1)、B(，2pt2)． 　　∵　A、B是原点以外的两点 　　∴　t1t2≠0，OA、OB的斜率分别为kOA =，kOB 　　由OA⊥OB，得kOA·kOB= 　　∴　t1t2=-4 　　AB的方程为　　　　　　　　① 　　∴　OM的方程为y=　　　　　　　　　　　 ② 　　把②代入①得 　　x-pt1(t1+t2)=x-，即·x-pt1t2=x 　　∵　t1t2=-4， 　　∴　·x+4p=x，即-y2+4px=x2 　　∴　(x-2p)2+y2=4p2(x≠0) 　　∴　点M的轨迹是以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆(去掉坐标原点)． 解法二：本题是求圆锥曲线的动弦上适合条件的点的轨迹，常引入参数求其轨迹方程，这是一种综合型较强的题型，常常出现在考题中．但是在引入参数后，可以从不同的思路展开，在引入四个参数后，可考虑从整体的角度进行参数消元，如下面的解题变换． 　　设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，点M的坐标为(x，y)． 　　∵　A、B在抛物线上 　　∴　=4px1，=4px2 　　两式相减，得-=4px1-4px2 　　则有(y1+y2)(y1-y2)=4p(x1-x2) 　　∴　 　　∵　OM⊥AB 　　∴　kOM·kAB=-1，即 　　∴　y1+y2=-4p　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 　　∵　OA⊥OB 　　∴　kOA·kOB=-1，即 　　∴　x1x2+y1y2=0，即+y1y2=0 　　又y1y2≠0，∴　y1y2=-16p2　　　　　　　　　　　　　　② 　　所以直线AB方程为y-y1=(x-x1) 　　即(y1+y2)y--y1y2=4px-4p· 　　将①、②代入整理得x2+y2-4px=0(x≠0) 　　所以点M的轨迹是以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆(去掉坐标原点)．