Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量=（4，-1），且．
（1）求角A的大小；
（2）若a=，试判断b×c取得最大值时△ABC形状．

Answer 1

解：（1）由
（1分）
==-2cos²A+2cosA+3（3分）
又因为．所以
解得（5分）
∵（6分）
（2）在△ABC中a²=b²+c²-2bccosA且a=，
∴（）2=b²+c²-bc．（8分）
∵b²+c²≥2bc，∴3≥2bc-bc
即 bc≤3当且仅当 b=c=时，bc取得最大值，（10分）
又由（1）知 A=60°∴B=C=60°
故 bc取得最大值时，△ABC为等边三角形．（12分）
分析：（1）利用已知计算，然后令它等于，可求A的值．
（2）利用余弦定理，求得bc的关系，再用基本不等式和最大值，判定三角形的形状．
点评：本题考查平面向量数量积，余弦定理，三角函数的基本关系式，是中档题．