Question

3．已椭圆T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到焦点距离的最大值为2+$\sqrt{3}$，最小值为2-$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆T的方程；
（2）已知直线l与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线l方程为y=kx+$\sqrt{3}$（k＞0），O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆上的点到焦点距离的最大值为2+$\sqrt{3}$，最小值为2-$\sqrt{3}$，由此可求a，c然后求解b，即可得到椭圆T的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出|PQ|，求出原点到直线l的距离，表示出三角形的面积，进而利用基本不等式，即可求得△OPQ面积的最大值．

解答 解：（1）由题意：椭圆上的点到焦点距离的最大值为2+$\sqrt{3}$，最小值为2-$\sqrt{3}$，
则：a+c=2+$\sqrt{3}$，a-c=2-$\sqrt{3}$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
故所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+4k²）x²+8$\sqrt{3}$kx+8=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{-8\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$，
△=（8$\sqrt{3}$k）²-32（1+4k²）＞0，即：2k²-1＞0，
又原点到直线l的距离为d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{2{k}^{2}-1}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$
=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{2{k}^{2}-1}{4（2{k}^{2}-1）^{2}+12（2{k}^{2}-1）+9}}$
=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{1}{4（2{k}^{2}-1）+\frac{9}{2{k}^{2}-1}+12}}$
≤$2\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{24}}$=1当且仅当k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时取等号，
则△OPQ面积的最大值为1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．