Question

在数列{a_n}中，a1=

1

3

，且前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍（n∈N*）．
（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1）由已知a1=

1

3

，

a1+a2+a3+…+an

n

=（2n-1）a_n，分别取n=2，3，4，5，
得a2=

1

5

a1=

1

3×5

=

1

15

，a3=

1

14

(a1+a2)=

1

5×7

=

1

35

，a4=

1

27

(a1+a2+a3)=

1

7×9

=

1

63

，a5=

1

44

(a1+a2+a3+a4)=

1

9×11

=

1

99

；
所以数列的前5项是：a1=

1

3

，a2=

1

15

，a3=

1

35

，a4=

1

63

，a5=

1

99

；  …（5分）
（2）由（1）中的分析可以猜想an=

1

(2n-1)(2n+1)

（n∈N^*）．          …（7分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，猜想显然成立．                           …（8分）
②假设当n=k（k≥1且k∈N^*）时猜想成立，即ak=

1

(2k-1)(2k+1)

． …（9分）
那么由已知，得

a1+a2+a3+…+ak+ak+1

k+1

=(2k+1)ak+1，
即a₁+a₂+a₃+…+a_k=（2k²+3k）a_k+1．所以（2k²-k）a_k=（2k²+3k）a_k+1，
即（2k-1）a_k=（2k²+3）a_k+1，又由归纳假设，得(2k-1)

1

(2k-1)(2k+1)

=(2k+3)ak+1，
所以ak+1=

1

(2k+1)(2k+3)

，即当n=k+1时，猜想也成立．        …（11分）
综上①和②知，对一切n∈N*，都有an=

1

(2n-1)(2n+1)

成立．      …（12分）