Question

首项a₁=

2

3

的数列{a_n}满足：3na_n+1-a_na_n+1=2n²+2n（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃的值，并求数列{

an-2n

an-n

}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：S_n≥

n2

2

+

n

6

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用递推思维能求出a2=

12

7

，a3=

14

5

．由已知条件an+1-2(n+1)=

2n2+2n

3n-an

-2(n+1)=

2(n+1)(an-2n)

3n-an

，①，a_n+1-（n+1）=

2n2+2n

3n-an

-(n+1)=

(n+1)(an-n)

3n-an

，②，

①

②

，得：

an+1-2(n+1)

an+1-(n+1)

=

2(an-2n)

an-n

，由此能求出

an-2n

an-n

=2ⁿ⁺¹．
（2）由（1）得an-2n=2n+1•(an-n)，故an=

n•2n+1-2n

2n+1-1

=n-

n

2n+1-1

≥n-

1

3

，由此能证明S_n≥

n2

2

+

n

6

．

解答： （1）解：∵首项a₁=

2

3

的数列{a_n}满足：3na_n+1-a_na_n+1=2n²+2n（n∈N^*），
∴3a₂-

2

3

a2=4，解得a2=

12

7

，
6a3-

12

7

a3=12，解得a3=

14

5

．
∴an+1=

2n2+2n

3n-an

，
∴an+1-2(n+1)=

2n2+2n

3n-an

-2(n+1)
=

-4n2-4n+2(n+1)an

3n-an

=

2(n+1)(an-2n)

3n-an

，①
a_n+1-（n+1）=

2n2+2n

3n-an

-(n+1)
=

-n2-n+(n+1)an

3n-an

=

(n+1)(an-n)

3n-an

，②

①

②

，得：

an+1-2(n+1)

an+1-(n+1)

=

2(an-2n)

an-n

，
又a1=

2

3

，∴

a1-2

a1-1

=4，
∴{

an-2n

an-n

}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴

an-2n

an-n

=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（2）证明：∵

an-2n

an-n

=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴an-2n=2n+1•(an-n)，
∴（2ⁿ⁺¹-1）a_n=n•2ⁿ⁺¹-2n，
∴an=

n•2n+1-2n

2n+1-1

=n-

n

2n+1-1

≥n-

1

3

，
∴S_n≥（1+2+3+…+n）-

n

3

=

n(n+1)

2

-

n

3

=

n2

2

+

n

6

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．