已知等比数列{an}的前n项和Sn.首项a1=a.公比为q．(1)推导证明:Sn=$\frac{{a}}{1-q}$,(2)等比数列{an}中.是否存在连续的三项:ak.ak+1.ak+2.使得这三项成等差数列?若存在.求出符合条件的等比数列公比q的值.若不存在.说明理由,(3)本题中.若a=q=2.已知数列{nan}的前n项和Tn.是否存在正整数n.使得Tn� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=a，公比为q（q≠0且q≠1）．
（1）推导证明：S_n=$\frac{{a（1-{q^n}）}}{1-q}$；
（2）等比数列{a_n}中，是否存在连续的三项：a_k、a_k+1、a_k+2，使得这三项成等差数列？若存在，求出符合条件的等比数列公比q的值，若不存在，说明理由；
（3）本题中，若a=q=2，已知数列{na_n}的前n项和T_n，是否存在正整数n，使得T_n≥2016？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用错位相减法真假求解即可．
（2）不存在存在连续的三项：a_k、a_k+1、a_k+2，使得这三项成等差数列．利用等差数列的等差中项列出关系式，推出矛盾结果．
（3）利用错位相减法求出前n项和，通过数列的单调性判断n=7与8时，推出结果即可．

解答解：（1）∵S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1，①
∴qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ，②
①-②可得（1-q）S_n=a₁-a₁qⁿ，
当q≠1时，上式两边同除以1-q可得S_n=$\frac{{a（1-{q^n}）}}{1-q}$，…5分
（2）不存在存在连续的三项：a_k、a_k+1、a_k+2，使得这三项成等差数列．
证明如下：若a_k、a_k+1、a_k+2成等差数列，则：$2{a_{k+1}}={a_k}+{a_{k+2}}⇒{a_k}（{q^2}-q+1）=0$
∵a_k≠0∴q²-q+1=0
而${q^2}-q+1={（q-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}＞0$…8分
∴不存在存在连续的三项：a_k、a_k+1、a_k+2，使得这三项成等差数列．…10分
（2）T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ ①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹　　　 ②
①-②得T_n=n×2ⁿ⁺¹-（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）=（n-1）2ⁿ⁺¹+2…13分
由于T_n是递增的，当n=7时${T_7}=6×{2^8}+2＜2016$；
当n=8时${T_8}=7×{2^9}+2＞{2^{11}}＞2016$．
所以存在正整数n，使得T_n≥2016的取值集合为{n|n≥8，n∈N₊}-…16分．

点评本题考查等比数列求和，数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

练习册系列答案

相关题目

9．求经过原点，且与点P（2，1）的距离为2的直线的方程．

13．某高中男子体育小组的50米跑成绩（单位：s）为：6.4，6.5，7.0，6.8，7.1，7.3，6.9，7.4，7.5，6.7，
画出程序框图，从这些成绩中搜索出小于6.8s的成绩．

10．已知数列{a_n}满足：a₁=1，（2n-1）a_n+1=（2n+1）a_n，（n∈N^*），则有a_n=2n-1．

17．函数f（x）=-x³+x²+tx+1在（-1，1）上是增函数，则t的取值范围是（　　）

7．已知a＞0，x，y满足线性约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤3}\\{ax-y-3a≤0}\end{array}\right.$，若z=2x+y的最小值为1，则a=（　　）

14．已知函数f（x）=${（\frac{1}{2}）^{|x|}}-\frac{1}{{1+{{log}_{\frac{1}{2}}}（1+|x|）}}$，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（　　）

	A．	$（\frac{1}{3}，1）$		B．	$（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$
	C．	$（-\frac{1}{3}，1）$		D．	$（-∞，-1）∪（-1，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$

11．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB+cosAcosC-$\sqrt{3}$sinAcosC=0．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若c=2时，求△ABC周长的最大值．

12．实数x、y、z、w满足x+y+z+w=1，则M=xw+2yw+3xy+3zw+4xz+5yz的最大值是$\frac{3}{2}$．

试题分类