Question

已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2．记动点P的轨迹为W．

(1)求W的方程；

(2)若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)由|PM|－|PN|＝2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝． 　　又半焦距c＝2，故虚半轴长b＝． 　　所以W的方程为＝1，x≥． 　　(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 　　当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2． 　　从而·＝x1x2＋y1y2＝＝2． 　　当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m．与W的方程联立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0． 　　故x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2 　　＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m) 　　＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 　　＝． 　　又因为x1x2＞0，所以k2－1＞0，从而·＞2．综上，当AB⊥x轴时，·取得最小值2． 　　解法二：(1)同解法一． 　　(2)设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 　　＝(xi＋yi)(xi－yi)＝2(i＝1，2)． 　　令si＝xi＋yi，ti＝xi－yi， 　　则siti＝2，且si＞0，ti＞0(i＝1，2)，所以·＝x1x2＋y1y2 　　＝(s1＋t1)(s2＋t2)＋(s1－t1)(s2－t2) 　　＝s1s2＋t1t2≥＝2， 　　当且仅当s1s2＝t1t2，即时“＝”成立． 　　所以·的最小值是2．