Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件||PM|-|PN||=2

2

，记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）过N（2，0）作直线l交曲线W于A，B两点，使得|AB|=2

2

，求直线l的方程．
（3）若从动点P向圆C：x²+（y-4）²=1作两条切线，切点为A、B，令|PC|=d，试用d来表示

PA

•

PB

，若

PA

•

PB

=

36

5

，求P点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据所给的动点P所满足的条件，看出点P是到两个定点距离之差等于定值，得到图形是双曲线，根据双曲线的定义，写出方程．
（2）本题是一个弦长问题，已知直线过定点，要设直线的方程，首先注意直线的斜率是否存在，不存在的情况要单独说明，存在时设出斜率，写出方程，联立方程，根据根和系数的关系，写出弦长的表达式，得到未知数．
（3）首先写出两个向量的数量积的表示式，用d来表示，根据数量积的值，得到关于d的方程，解出结果，针对于所求的两种情况，求出对应的点的坐标．

解答：解：（1）由||PM|-|PN||=2

2

，知点P的轨迹是以M（-2，0），N（2，0）为焦点，
实轴长为2

2

的双曲线．
即设2a=2

2

，2c=4?a=

2

，c=2，b=

2

所以所求的W的方程为x²-y²=2
（2）若k不存在，即x=2时，可得A（2，

2

），B（2，-

2

），|AB|=2

2

满足题意；
若k存在，可设l：y=k（x-2）
联立

y=k(x-2) x2-y2=2

，?（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由题意知

1-k2≠0 △＞0

?k∈R且k≠±1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=

△

|a|

1+k2

即

8k2+8

|1-k2|

1+k2

=2

2

?k=0即l：y=0
所以直线l的方程为x=2或y=0
（3）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=(d2-1)(1-2sin2APO′)
=(d2-1)[1-2(

1

d

)2]=

(d2-1)(d2-2)

d2

=d2+

2

d2

-3
由

PA

•

PB

=

36

5

知5d⁴-51d²+10=0
∴d2=

1

5

或10
设P（x，y），则d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18
所以2y2-8y+18=

1

5

或2y²-8y+18=10
解得y=2此时x=±

6

即P（±

6

，2）

点评：先求轨迹的方程，再利用方程来解决直线与圆锥曲线的问题，是解析几何中常见的一种题型，本题所给的求轨迹的方法是定义法，这样可以减少题目的运算量，注意设直线的方程时，要讨论直线的斜率不存在的情况．