Question

3．不等式$\sqrt{1-{x^2}}$+kx+1≥0对于x∈[-1，1]恒成立，则实数k的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 将不等式恒成立转化为函数关系，构造函数，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：不等式$\sqrt{1-{x^2}}$+kx+1≥0对于x∈[-1，1]恒成立，
等价为$\sqrt{1-{x^2}}$+1≥-kx对于x∈[-1，1]恒成立，
设y=$\sqrt{1-{x^2}}$+1（y≥1），则等价为x²+（y-1）²=1对应的轨迹为以（0，1）为圆心，半径为1的上半圆，
则A（1，1），B（-1，1），
若$\sqrt{1-{x^2}}$+1≥-kx对于x∈[-1，1]恒成立，
则等价为A，B在直线y=-kx的上方或在直线上即可，
即A（1，1），B（-1，1），在不等式y≥-kx对应的区域内，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{1≥-k}\\{1≥k}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k≥-1}\\{k≤1}\end{array}\right.$，解得-1≤k≤1，
故答案为：[-1，1]．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数，利用数形结合是解决本题的关键．