题目内容
（2007•嘉定区一模）已知向量
={sinx+cosx，2(cosx-1)}，
={sinx+cosx，cosx+1}，函数f(x)=
•
．
（1）求函数f（x）的最大值，并求当f（x）取得最大值时x的集合；
（2）当x∈[-
，
]时，求函数f（x）的值域．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求函数f（x）的最大值，并求当f（x）取得最大值时x的集合；
（2）当x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
分析：（1）通过
和
的数量积表示出函数的解析式，进而利用两角和公式和二倍角公式化简整理，进而根据正弦函数f（x）的最大值，并求当f（x）取得最大值时x的集合；
（2）根据x的范围确定2x+
的范围，进而利用正弦定理的单调性求得函数的最值，求得函数的值域．
| a |
| b |
（2）根据x的范围确定2x+
| π |
| 4 |
解答：解：（1）f（x）=（sinx+cosx）2+2（cos2x-1）=1+2sinxcosx+2cos2x-2=sin2x+cos2x=
sin(2x+
)，（3分）
∴函数f（x）的最大值是
，此时x的集合是{x|x=kπ+
，k∈Z}．（6分）
（2）当x∈[-
，
]时，2x+
∈[-
，
]，（8分）
则sin(2x+
)∈[-
，1]，（12分）
所以，函数f（x）的值域是[-1，
]． （14分）
| 2 |
| π |
| 4 |
∴函数f（x）的最大值是
| 2 |
| π |
| 8 |
（2）当x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
则sin(2x+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
所以，函数f（x）的值域是[-1，
| 2 |
点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，和两角和公式，二倍角公式的运用．三角函数的基本公式较多，注意多积累．
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