Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．已知

m

=（cos

C

2

，sin

C

2

），

n

=（cos

C

2

，-sin

C

2

），且

m

•

n

=

1

2

．
（1）求角C；
（2）若c=

7

2

，△ABC的面积S=

3 3

2

，求a+b的值．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则化简

m

•

n

=

1

2

，再利用二倍角的余弦函数公式变形，得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由（1）求出的C的度数求出sinC的值及三角形的面积值，代入面积公式，化简可得ab的值，利用余弦定理表示出c²，把c及cosC的值代入，利用完全平方公式配方后，把ab的值代入，开方可得a+b的值．

解答：解：（1）依题知得：

m

•

n

=cos²

C

2

-sin²

C

2

=

1

2

，
即cosC=

1

2

，又0＜C＜π，所以C=

π

3

；   
（2）由（1）求出的C=

π

3

，得到sinC=

3

2

，
代入面积公式得：S=

1

2

absinC=

3

4

ab，又S=

3 3

2

，
所以ab=6，又c=

7

2

，cosC=

1

2

，
根据余弦定理得：c²=

49

4

=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（a+b）²-18，
即（a+b）²=

121

4

，
开方得：a+b=

11

2

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，三角形的面积公式以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．