Question

（2010•南充一模）已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F（-2，0）
①求双曲线方程
②设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直线l的方程．

Answer 1

分析：①由题意设出双曲线的方程，再由离心率为2，一个焦点F（-2，0）求出a的值，结合b²=c²-a²求出b²，则双曲线的方程可求；
②设出直线l的斜率，由点斜式写出方程，求出点M的坐标，由|

MQ

|=2|

QF

|，得

MQ

=2

QF

或

MQ

=-2

QF

．
分类讨论后利用定比分点公式求出Q点的坐标，然后利用Q点在双曲线上代入求得k的值，则直线方程可求．

解答：解：①由题意设所求双曲线方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
则有e=

c

a

=2，c=2，∴a=1，则b=

3

∴所求的双曲线的方程为x2-

y2

3

=1；
②∵直线l与y轴相交于M，且过焦点F（-2，0），
∴l的斜率k一定存在，设为k，则l：y=k（x+2）．
令x=0得M（0，2k）
∵|

MQ

|=2|

QF

|，且M、Q、F共线于l
∴

MQ

=2

QF

或

MQ

=-2

QF

．
当

MQ

=2

QF

时，Q分

MF

所成的比λ=2，设Q（x_Q，y_Q）
则xQ=

2×(-2)

1+2

=-

4

3

，yQ=

2k+2×0

1+2

=

2

3

k
因为Q在双曲线上，所以

16

9

-

4k2

27

=1，解得k=±

21

2

．
当

MQ

=-2

QF

时，Q分

MF

所成的比λ=-2，
同理求得Q（-4，-2k），代入双曲线方程得，16-

4

3

k2=1，解得k=±

3

2

5

．
则所求的直线l的方程为：y=±

21

2

(x+2)或y=±

3

2

5

(x+2)．

点评：本题考查了双曲线的简单性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了定比分点公式，是有一定难度题目．