Question

(2007苏锡常镇四市模拟)已知函数f(x)的定义域为[0，1]，且同时满足：①f(1)=3；②f(x)≥2对一切恒成立；③若，，，则有．

(1)求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)试比较与的大小；

(3)某同学发现：当时，有f(x)＜2x＋2，由此他提出猜想：对一切，都有f(x)＜2x＋2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)设，，， 则[0，1]， ∴． ∴． ∴． 则当0≤x≤1时，f(0)≤f(x)≤f(1)． 在③中，令，得f(0)≤2， 由②得f(0)≥2，∴f(0)=2． ∴当x=0时，f(x)取得最小值为2； 当x=1时，f(x)取得最大值为3． (2)在③中，令， 得． 则． (3)对x(0，1]，总存在nN，满足． 由(1)与(2)，得， 又． ∴f(x)＜2x＋2． 综上所述，对任意，f(x)＜2x＋2恒成立．