Question

在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足（如图1）.将△沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图2）
    
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）取BE的中点D，连结DF∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=60⁰,∴△ADF是正三角形，AE=DE=1，∴EF⊥AD，在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角．∴A₁E⊥BE∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP（Ⅱ）

试题分析：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .

(I)在图1中，取BE的中点D，连结DF．
∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=60⁰,∴△ADF是正三角形，
又AE=DE=1，∴EF⊥AD．    2分
在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A₁E⊥BE．
又BE∩EF=E，∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP．   .4分
(II)建立分别以ED、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,1),
B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0),则,．
设平面ABP的法向量为，
由平面ABP知，，即
令，得，．
，设平面AFP的法向量为．
由平面AFP知，，即
令，得，．
,
所以二面角B-A₁P-F的余弦值是               13分
点评：证明线面垂直主要通过已知中的垂直的直线来推理，其重要注意翻折前后保持不变的量；第二问二面角的求解充分把握好从点E出发的三线两两垂直建立空间坐标系，通过两面的法向量的夹角得到二面角