Question

【题目】已知函数，（ ）是偶函数．

（1）求的值；

（2）设函数，其中．若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） (2)

【解析】试题分析：（1）由偶函数得，根据对数运算法则化简得的值；（2）化简方程得关于一元二次方程，先讨论时，是否满足条件，再根据实根分布讨论的取值范围．本题也可利用参变分离法，转化为讨论函数交点个数.

试题解析：解：（1）∵（）是偶函数，

∴对任意，恒成立

即： 恒成立，∴

（2）由于，所以定义域为，也就是满足

∵函数与的图象有且只有一个交点，

∴方程在上只有一解

即：方程在上只有一解

令，则，因而等价于关于的方程（*）在上只有一解

当时，解得，不合题意；

当时，记，其图象的对称轴

∴函数在上递减，而

∴方程（*）在无解

当时，记，其图象的对称轴

所以，只需，即，此恒成立

∴此时的范围为

综上所述，所求的取值范围为