Question

如图，A、B分别是椭圆的公共左右顶点，P、Q分别位于椭圆和双曲线上且不同于A、B的两点，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄且k₁+k₂+k₃+k₄=0．（1）求证：O、P、Q三点共线；（O为坐标原点）
（2）设F₁、F₂分别是椭圆和双曲线的右焦点，已知PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由k₁+k₂+k₃+k₄=0得y₁x₂-y₂x₁=0，从而得出（x₁，y₁）∥（x₂，y₂）最后有：O、P、Q三点共线；
（2）由PF₁∥QF₂知|OP|：|OQ|=因为O、P、Q三点共线再结合方程思想即可求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值，从而解决问题．
解答：解：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则k₁+k₂+k₂+k₄==…（2分）
又x₁²-4=-4y₁²，x₂²-4=4y₂²所以k₁+k₂+k₃+k₄==…（4分）       
由k₁+k₂+k₃+k₄=0得y₁x₂-y₂x₁=0
即（x₁，y₁）∥（x₂，y₂）所以O、P、Q三点共线        …（6分）
（2）由PF₁∥QF₂知|OP|：|OQ|=
因为O、P、Q三点共线，
所以…①…（7分）              
设直线PQ的斜率为k，则…②
由①②得  k²=（9分）
又k₁k₂=，k₃k₄=…（10分）
从而k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁k₂+k₃k₄）=2（k₁+k₂）²=
=8…（12分）
点评：本题主要考查圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的综合问题、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考查学生用方程思想等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．