题目内容

函数f（x）=
1
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ax3+ax2+x+3有极值的充要条件是（　　）
A、a＞1或a≤0
B、a＞1
C、0＜a＜1
D、a＞1或a＜0
分析：由f（x）=
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ax3+ax2+x+3有极值，导数等于0一定有解，求出a的值，再验证当a在这个范围中时，f（x）=
1
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ax3+ax2+x+3有极值，则求出的a的范围就是f（x）=
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ax3+ax2+x+3有极值的充要条件．
解答：解：f（x）=
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ax3+ax2+x+3的导数为f′（x）=ax2+2ax+1，
若函数f（x）有极值，则f′（x）=0有解，
即ax2+2ax+1=0有解，∴
△=(2a)2-4a＞0
a≠0
，解得a＞1或a＜0，
若a＞1或a＜0，则ax2+2ax+1=0有解，即f′（x）=0有解，∴函数f（x）有极值．
∴函数f（x）=
1
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ax3+ax2+x+3有极值的充要条件是a＜0或a＞1
故选：D
点评：本题主要考查了函数的导数与极值的关系，以及充要条件的判断，属于综合题．
练习册系列答案
相关题目
若x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x1=-
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，x2=1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2
3
，求b的最大值；
（Ⅲ）若-
1
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为函数f（x）的一个极值点，设函数g(x)=f′(x)-ax-
1
3
a，当x∈[-
1
3
，a]时求|g（x）|的最大值．
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2处取得极值．
（Ⅰ）若c=-a2，且|x1-x2|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）+x，若0＜x1＜x2＜
13a
，且x∈（0，x1），证明：x＜g（x）＜x1．
f（x）为定义在R上的函数，f（1）=1，对任意x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立
（1）对任意n∈N*，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n+1
)+1，求Tn=
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an

（2）设F（n）=an+1+an+2+…+a2n，若
1
4
a2-
1
3
a+
12
35
≤F（n）对于一切n≥2且n∈N*恒成立，求a的取值范围．

（本小题满分12分）

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d (b,c,d∈R且都为常数)的导函数f¢(x)=3x2+4x且f(1)=7，设F(x)=f(x)-ax2

(1)当a<2时，求F(x)的极小值；

(2)若对任意x∈[0,+∞)都有F(x)≥0成立，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下比较a2-13a+39与的大小.

 
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2处取得极值．
（Ⅰ）若c=-a2，且|x1-x2|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）+x，若0＜x1＜x2＜
1
3a
，且x∈（0，x1），证明：x＜g（x）＜x1．

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