Question

函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m²－m－2)<3.

Answer 1

 (1)证明　设x₁，x₂∈R，且x₁<x₂，

则x₂－x₁>0，∴f(x₂－x₁)>1.

f(x₂)－f(x₁)＝f[(x₂－x₁)＋x₁]－f(x₁)

＝f(x₂－x₁)＋f(x₁)－1－f(x₁)＝f(x₂－x₁)－1>0.

∴f(x₂)>f(x₁)．即f(x)是R上的增函数．

(2)解　∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3，

∴原不等式可化为f(3m²－m－2)<f(2)，

∵f(x)是R上的增函数，∴3m²－m－2<2，

解得－1<m<，故解集为.