Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=2A₁A=4，点D是BC的中点；
（I）求异面直线A₁B，AC₁所成角的余弦值；
（II）求直线AB₁与平面C₁AD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）以

AB

，

AC

，

AA1

为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，可得

A1B

和

AC1

的坐标，可得cos＜

A1B

，

AC1

＞，可得答案；
（II）由（I）知，

A1B

=（2，0，-4），

AD

=（1，1，0），设平面C₁AD的法向量为

n

=（x，y，z），由

n • AC1 =0 n • AD =0

可得

n

=（1，-1，

1

2

），设直线AB₁与平面C₁AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

AB1

，

n

＞|=

4 5

15

，进而可得答案．

解答：解：（I）以

AB

，

AC

，

AA1

为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
则可得B（2，0，0），A₁（0，0，4），C₁（0，2，4），D（1，1，0），
∴

A1B

=（2，0，-4），

AC1

=（0，2，4），
∴cos＜

A1B

，

AC1

＞=

-16

20 × 20

=-

4

5

∴异面直线A₁B，AC₁所成角的余弦值为：

4

5

；
（II）由（I）知，

A1B

=（2，0，-4），

AD

=（1，1，0），
设平面C₁AD的法向量为

n

=（x，y，z），
则可得

n • AC1 =0 n • AD =0

，即

2y+4z=0 x+z=0

，取x=1可得

n

=（1，-1，

1

2

），
设直线AB₁与平面C₁AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

AB1

，

n

＞|=

4 5

15

∴直线AB₁与平面C₁AD所成角的正弦值为：

4 5

15

点评：本题考查异面直线所成的角，以及直线与平面所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．