题目内容

证明f(x)=在(0,+∞)上是减函数.

思路分析:可采用定义法和求导法两种方法来解题,体会求导法在解决函数单调性问题上的优越性.

证明:法一:任取两个数x1,x2∈(0,+∞),设x1＜x2,则

f(x1)-f(x2)=-=,

∵x1＞0,x2＞0且x1＜x2,∴f(x1)-f(x2)＞0.∴f(x1)＞f(x2).

∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.

法二:f′(x)=,

∵x＞0,∴f′(x)＜0.

∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.

    辨析比较 比较一下两种方法,用求导证明更简捷一些.如果是更复杂的函数,用导数的符号判断函数的单调性更能显示出它的优越性.

练习册系列答案
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已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞．

（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；

（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．

 

判断并利用定义证明f(x)＝在(－∞，0)上的增减性．

 

已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－sin 2x)，函数f(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)

(1)求函数f(x)(x∈R)的值域；

(2)当a＝2时，若对任意的t∈R，函数y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)的在[0，b]上单调递增区间．

 

 

 

已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞．

（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；

（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．

 

已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－sin 2x)，函数f(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)

(1)求函数f(x)(x∈R)的值域；

(2)当a＝2时，若对任意的t∈R，函数y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)的在[0，b]上单调递增区间．

 

 

 

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