题目内容
已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞
．
（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；
（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．
（Ⅰ）F(x)＝
在(0，＋∞)上是增函数；（Ⅱ）f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；（Ⅲ）f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn).
【解析】
试题分析：（Ⅰ）判断F(x)的单调性，则需对F(x)求导，得F′(x)＝
，∵f ′(x)＞，x＞0，则xf ′(x)－f(x)＞0，即F′(x)＞0，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数.（Ⅱ）要证明f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，可以从第（Ⅰ）的结论入手，∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，则F(x1)＜F(x1＋x2)，即
＜
，而x1＞0，所以f(x1)＜
f(x1＋x2)，同理f(x2)＜
f(x1＋x2)，两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，得证.（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．证明的方法同（Ⅱ）的证明，∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜
，而x1＞0，所以f(x1)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，同理f(x2)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，……
f(xn)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，得证.
试题解析：（Ⅰ）对F(x)求导数，得F′(x)＝．
∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，
∴F′(x)＞0．
故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．
（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2．
由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即＜．
∵x1＞0，∴f(x1)＜f(x1＋x2)．
同理可得f(x2)＜f(x1＋x2)．
以上两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)．
（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：
设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．
∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，
∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．
由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
∴F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜．
∵x1＞0，
∴f(x1)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．
同理可得
f(x2)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，
f(x3)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，
……
f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．
以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．
考点：1.利用导数求单调性；2.利用函数单调性证明不等式.
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的图象如图所示，那么函数f (x)的图象最有可能的是( )
，且满足f(x)＝2x
＋ln x，则
的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的