Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，且，.四边形ABCD满足，，.E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点.

(1)若F为PC的中点，求证:平面PAD；

(2)求证:平面平面PAB；

(3)是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)存在，

【解析】

（1）易得，利用线面平行的判定证明；
（2）易得AD⊥平面PAB，利用面面垂直的判定，可得AD平面AFD，所以平面AFD⊥平面PAB；
（3）易得CD⊥平面PAC.只需在棱PC上存在点F使得AF⊥PC即可.

(1)因为E，F分别为侧棱PB，PC的中点，

所以，因为，

所以，而平面PAD，平面PAD，

所以平面PAD；

(2)因为平面平面PAC，平面平面，

且，平面PAC，

所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.

又因为，，所以平面PAB，

而平面AFD，所以平面平面PAB；

(3)在棱PC上显然存在点F使得.

由已知，，，，.

由平面几何知识可得.

由(2)知，平面ABCD，所以，

因为，所以平面PAC.

而平面PAC，所以.

又因为，所以平面PCD.

在中，，，，

可求得，，.

可见直线与平面PCD能够垂直，此时线段PF的长为.