Question

（1） 若cos(75°+α)=

3

5

，(-180°＜α＜-90°)，求sin（105°-α）+cos（375°-α）值；
（2） 在△ABC中，若sinA+cosA=-

7

13

，求sinA-cosA，tanA的值．

Answer 1

分析：（1）∵105°-α=180°-（75°+α），375°-α=360°+（15°-α），我们根据诱导公式结合已知中cos(75°+α)=

3

5

，(-180°＜α＜-90°)，即可求出sin（105°-α）+cos（375°-α）的值；
（2）由sinA+cosA=-

7

13

，由A为三角形的内角，则A为钝角，结合平方关系，我们不难求出sinA-cosA，tanA的值．

解答：解：（1）sin（105°-α）=sin[180°-（75°+α）]=sin（75°+α）
∵-180°＜α＜-90°
∴-105°＜75°+α＜-15°又cos(75°+α)=

3

5

＞0
∴-90°＜75°+α＜-15°
∴sin(75° +α)=-

4

5

cos(375°-α)=cos(15°-α)=cos[90° -(75°+α)]=sin(75°+α)=-

4

5

∴原式=-

8

5

（2）由sinA+cosA=-

7

13

两边平方得1+2sinAcosA=

49

169

而0＜A＜π2sinAcosA=-

120

169

＜0
∴

π

2

＜A＜π
∴1-2sinAcosA=

289

169

即(sinA-cosA)2=(

17

13

)2
又sinA-cosA＞0sinA-cosA=

17

13

∴

sinA= 5 13 cosA=- 12 13

∴tanA=-

5

12

点评：本题考查的知识点是三角函数如恒等变换应用，运用诱导公式化简求值，同角三角函数关系等，分析已知角与未知角之间的关系，以选择恰当的公式进行化简求值是三角函数求值中最关键的环节．