Question

已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（1）若|

OA

+

OC

|=

7

，求角α；
（2）若

AC

⊥

BC

，求cosα-sinα的值．

Answer 1

分析：（1）分别表示

OA

=(2，0)，

OC

=(cosα，sinα)，再利用|

OA

+

OC

|=

7

，即可求得角α；
（2）用坐标表示向量，利用向量垂直，得到数量积为0，进而可求cosα-sinα的值．

解答：解：（1）∵点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），
∴

OA

=(2，0)，

OC

=(cosα，sinα)，
∴

OA

+

OC

=(2+cosα，sinα)，
∵|

OA

+

OC

|=

7

，
∴（2+cosα）²+sin²α=7
∴cosα=

1

2

∵0＜α＜π．
∴α=

π

3

；
（2）∵点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），
∴

AC

=(cosα-2，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-2)
∵

AC

⊥

BC

，
∴（cosα-2）cosα+sinα（sinα-2）=0
∴cosα+sinα=

1

2

两边平方得：1+2sinαcosα=

1

4

∴2sinαcosα=-

3

4

∴(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=

7

4

∵2sinαcosα=-

3

4

，0＜α＜π
∴sinα＞0，cosα＜0
∴cosα-sinα=-

7

2

．

点评：本题以向量为载体，考查三角函数，解题的关键是用坐标表示向量，正确运用同角三角函数的关系．