Question

试判断f(x)=log

1

2

1

1+sinx

在区间[-

π

2

，

π

2

]上的奇偶性和单调性．

Answer 1

分析：根据对数函数的定义域先求出x的范围，然后再判断在区间[-

π

2

，

π

2

]上的奇偶性和单调性．

解答：解：∵f（x）=log

1

2

1

1+sinx

，
∴

1

1+sinx

＞0，∴1+sinx＞0，
∴sinx＞-1，∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴-

π

2

＜x≤

π

2

，此时sinx为整函数，∴

1

1+sinx

为减函数；
∵

1

2

＜1，
∴f（x）=log

1

2

1

1+sinx

在-

π

2

＜x≤

π

2

上为单调增函数；
∵f（-x）=log

1

2

1

1+sin(-x)

=log

1

2

1

1-sinx

≠f（x），
∴f（x）非奇非偶．

点评：此题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性，考查的知识点比较全面，是一道好题．