题目内容

在数列{an}中，a1=6，且an-an-1=
an-1n
+n+1（n∈N*，n≥2），
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
分析：（1）分别取n=2，3，4即可得出；
（2）由（1）猜想an=（n+1）（n+2），再利用数学归纳法证明即可．
解答：解：（1）n=2时，a2-a1=
a1
2
+1+1，∴a2=12．
同理可得a3=20，a4=30．
（2）猜测an=（n+1）（n+2）．下用数学归纳法证明：
①当n=1，2，3，4时，显然成立；
②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时成立，即有ak=（k+1）（k+2），则当n=k+1时，
由且an-an-1=
an-1
n
+n+1，得an=
n+1
n
an-1+n+1，
故ak+1=
k+1+1
k+1
ak+k+1+1=
k+2
k+1
(k+1)(k+2)+k+2=（k+2）（k+3），
故n=k+1时等式成立；
由①②可知：an=（n+1）（n+2）对一切n∈N*均成立．
点评：本题考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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