Question

已知函数（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，，，得，

所以曲线在点处的切线方程为.       

（Ⅱ）.

当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，时，，时，，

此时的单调递增区间为，单调递减区间为

   （Ⅲ）由题意知得，经检验此时在处取得极小值.

因为，所以在上有解，即使成立，…9分

即使成立，                         

所以.

令，，所以在上单调递减，在上单调递增，

则，                                 

    所以.