Question

直线y=k（x+2）-1恒过定点A，且点A在直线

1

m

x+

1

n

y+8=0(m＞0，n＞0)上，则2m+n的最小值为（　　）

• A、1
• B、

  9

  8

• C、

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：由直线系方程求出直线经过的定点，把定点坐标代入直线mx+ny+8=0，得到m，n的关系式，利用“1”的代换，展开后运用基本不等式求其最小值．

解答：解：由直线y=k（x+2）-1恒过定点A，
∴

x+2=0 y+1=0

，得：

x=-2 y=-1

．
∴直线y=k（x+2）-1恒过定点A（-2，-1）．
又点A在直线

1

m

x+

1

n

y+8=0（m，n＞0）上，
∴

2

m

+

1

n

=8．
则（2m+n）×

1

8

(

2

m

+

1

n

)=

1

8

(5+

2m

n

+

2n

m

)．
∵m，n＞0，
∴

1

8

(5+

2m

n

+

2n

m

)≥

1

8

(5+2

2m n × 2n m

)=

9

8

．
当且仅当m=n=

3

8

时等号成立．
故选：B．

点评：本题考查直线系方程，考查了利用基本不等式求最值，涉及到定值为“1”的问题，灵活注意“1”的代换，此题是基础题．