题目内容
在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，a+c=2b，求此三角形的三边之比．
分析：利用A=2C通过正弦定理求出cosC，利用余弦定理推出a与c的比值，然后求出三边的比值．
解答：解：由正弦定理得
=
=
=2cosC，即cosC=
．
由余弦定理得cosC=
=
，
∵a+c=2b，
∴cosC=
=
，
∴
=
．
整理得2a2-5ac+3c2=0，解得a=
c，a=c（舍去因为A=2C）又a+c=2b，
所以a：b=6：5．所以a：b：c=6：5：4
三角形的三边之比为：6：5：4．
| a |
| c |
| sinA |
| sinC |
| sin2C |
| sinC |
| a |
| 2c |
由余弦定理得cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| (a+c)(a-c)+b2 |
| 2ab |
∵a+c=2b，
∴cosC=
2b(a-c)+b•
| ||
| 2ab |
2(a-c)+
| ||
| 2a |
∴
| a |
| 2c |
2(a-c)+
| ||
| 2a |
整理得2a2-5ac+3c2=0，解得a=
| 3 |
| 2 |
所以a：b=6：5．所以a：b：c=6：5：4
三角形的三边之比为：6：5：4．
点评：本题考查最新的与余弦定理的应用，考查逻辑推理能力与计算能力．
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