Question

9．数列{a_n}，{b_n}的通项公式是a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，它们公共项由小到大排列构成数列{c_n}．
（1）写出数列{c_n}的前5项；
（2）判断数列{c_n}是否为等比数列，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意和a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，依次求出数列{c_n}的前5项；
（2）先进行判断出再证明，设a_k=2^k是数列{b_n}中的第m项，则2^k=3m+2，（k、m∈N^*）．证明a_k+1不是数列{b_n}中的项，a_k+2是数列{b_n}中的项，求出c_n即可判断出数列{c_n}是等比数列．

解答 解：（1）∵a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，
∴数列{c_n}的前5项是8、32、2⁷、2⁹、2¹¹；
（2）数列{c_n}是以4为公比的等比数列，证明如下：
∵a_n=2ⁿ，∴数列{a_n}是以2首项，公比为2的等比数列，
∴a₁=2．a₂=4．a₃=8，
知a₁、a₂显然不是数列{b_n}中的项．
∵a₃=8=3×2+2，∴a₃是数列{b_n}中的第2项，
设a_k=2^k是数列{b_n}中的第m项，则2^k=3m+2（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=2^k+1=2×2^k=2（3m+2）=3（2m+1）+1，
∴a_k+1不是数列{b_n}中的项．
∵a_k+2=2^k+2=4×2^k=4（3m+2）=3（4m+2）+2，
∴a_k+2是数列{b_n}中的项，
∴c₁=a₃，c₂=a₅，c₃=a₇，…，c_n=a_2n+1，
∴数列{c_n}的通项公式是c_n=2²ⁿ⁺¹（n∈N^*），
则数列{c_n}是以4为公比的等比数列．

点评 本题考查等比数列的通项公式、等差数列的通项公式的应用，以及推理与证明能力，属于中档题．