题目内容
现有甲、乙两个容器，分别盛有浓度为10%、20%的某种饮料各500ml．实验人员对它们进行调和试验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第一次调和；然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出100ml溶液分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第二次调和；…依照上述操作程序反复进行调和试验，记第n-1（n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度分别为an和bn．（1）试写出a1和b1的值．（2）依据调和程序，试用n表示甲、乙两个容器中两种饮料的浓度的差bn-an．（3）试求出第n-1（n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度an、bn关于n的表达式．
分析：（Ⅰ）根据题设知条件知a1=10%，b1=20%．
（Ⅱ）由an=
=
an-1+
bn-1，bn=
=
bn-1+
an-1．知bn-an=（
bn-1+
an-1）-（
an-1+
bn-1）=
（bn-1-an-1）（n≥2）．由此能够用n表示甲、乙两个容器中两种饮料的浓度的差bn-an．
（Ⅲ）由bn-an=
•(
)n-1和an+bn=an-1+bn-1═a1+b1=30%=
联立能够求出an和bn．
（Ⅱ）由an=
| 400an-1+100bn-1 |
| 500 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 400bn-1+100an-1 |
| 500 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（Ⅲ）由bn-an=
| 1 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
解答：解：（Ⅰ）依题设，a1=10%，b1=20%．
（Ⅱ）∵an=
=
an-1+
bn-1，
bn=
=
bn-1+
an-1．
∴bn-an=（
bn-1+
an-1）-（
an-1+
bn-1）=
（bn-1-an-1）（n≥2）．
可知数列{bn-an}为首项是b1-a1=10%，公比为
的等比数列，
∴bn-an=（b1-a1）(
)n-1=10%(
)n-1=
•(
)n-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）bn-an=
•(
)n-1①
又an+bn=an-1+bn-1═a1+b1=30%=
②
联立①②得an=
-
•(
)n-1，bn=
+
•(
)n-1．
（Ⅱ）∵an=
| 400an-1+100bn-1 |
| 500 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
bn=
| 400bn-1+100an-1 |
| 500 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
∴bn-an=（
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
可知数列{bn-an}为首项是b1-a1=10%，公比为
| 3 |
| 5 |
∴bn-an=（b1-a1）(
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
（Ⅲ）由（Ⅱ）bn-an=
| 1 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
又an+bn=an-1+bn-1═a1+b1=30%=
| 3 |
| 10 |
联立①②得an=
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 20 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 20 |
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
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次调和后甲、乙两溶液中饮料的口感度分别为
和
。
、
的值；
表示甲、乙两个容器中两种饮料的口感度的差
；