题目内容
已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求
+
+
的最大值．
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
分析：根据柯西不等式（x1y1+x2y2+x3y3）2≤（x12+x22+x32）（y12+y22+y32），将原式进行配凑并结合已知条件a+b+c=1加以计算，即可得到
+
+
的最大值．
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
解答：解：根据柯西不等式，可得
（
+
+
）2
=（1•
+1•
+1•
）2
≤（12+12+12）[（
）2+（
）2+（
）2]=3[3（a+b+c）+3]=18
当且仅当
=
=
，
即a=b=c=
时，（
+
+
）2的最大值为18
因此，
a+1+
+
的最大值为
=3
（
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
=（1•
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
≤（12+12+12）[（
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
当且仅当
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
即a=b=c=
| 1 |
| 3 |
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
因此，
| 3 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
| 18 |
| 2 |
点评：本题给出三个正数满足a+b+c=1，求
+
+
的最大值．考查了利用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
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