题目内容
已知椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为
；抛物线C2：y2=2px（p＞0）上一点（1，m ）到其焦点的距离为2．
（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2相切，求直线l的方程．
考点：
直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程．
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）根据椭圆的短轴长为2，离心率为，求出几何量，即可得到椭圆方程；利用抛物线C2：y2=2px（p＞0）上一点（1，m ）到其焦点的距离为2，可求抛物线C2的方程；
（2）分类讨论，将直线与椭圆、双曲线联立，利用判别式，即可求得结论．
解答：
解：（1）由2b=2，得b=1． …（1分）
由
，得
． …（2分）
∴椭圆C1的方程是
． …（3分）
依题意有
，得p=2，…（4分）
∴抛物线C2的方程是y2=4x．…（5分）
（2）①当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=n．
由直线l与椭圆C1相切，可得
；
由直线与抛物线C2相切得n=0．
∴此时符合题设条件的直线l不存在．…（7分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+n …（8分）
当直线l与椭圆C1相切时，联立
，得（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣2=0，
由
，得n2=2k2+1，…（10分）
当直线l与抛物线C2相切时，联立
，得k2x2+2（kn﹣2）x+n2=0，
由
，得kn=1，…（12分）
联立
，解得
或
，
．…（13分）
综上，直线l的方程为
．…（14分）
点评：
本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
=1,抛物线C2：(y-m)2=2px(p＞0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.
=1 （a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
=1 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（ ）
+
=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为
，F1、F2分别为其左右焦点．一动圆过点F2，且与直线x=-1相切．
共线，
与
共线，且
•
=0，求四边形PMQN面积的最小值．
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，直线l：x-y+
=0与椭圆C1相切．