Question

5．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{3}$），求函数g（x）=f（x）+sinx在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]可得sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：∵f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{3}$），
∴g（x）=f（x）+sinx=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+sinx
=$\frac{1}{4}$cos²x-$\frac{3}{4}$sin²x+sinx=$\frac{1}{4}$（1-sin²x）-$\frac{3}{4}$sin²x+sinx
=-sin²x+sinx+$\frac{1}{4}$=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
由二次函数可知当sinx=-$\frac{1}{2}$时，函数取最小值$-\frac{1}{2}$，
当sinx=$\frac{1}{2}$时，函数取最大值$\frac{1}{2}$，
故函数的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及和差角的三角函数公式和二次函数区间的最值，属中档题．