Question

已知定点F(0,1)和直线l₁：y＝－1，过定点F与直线l₁相切的动圆的圆心为点C.

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)过点F的直线l₂交轨迹于两点P、Q，交直线l₁于点R，求·的最小值．

Answer 1

解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l₁的距离，

∴点C的轨迹是以F为焦点，l₁为准线的抛物线，

∴动点C的轨迹方程为x²＝4y.

(2)由题意知，直线l₂的方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，

与抛物线方程联立消去y，得x²－4kx－4＝0.

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4.

＝4＋8.

∵k²＋≥2，当且仅当k²＝1时取等号，

∴≥4×2＋8＝16，即的最小值为16.