Question

【题目】如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明MN∥平面PAB；

(2)求四面体N－BCM的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，证得，得出,

即，再用线面平行的判定定理，即可作出证明；

（2）根据题意，得出到的距离为，得出，再利用三棱锥的体积公式，即可求得三棱锥的体积.

试题解析：

(1)证明：由已知得AM＝AD＝2，如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故，所以四边形AMNT为平行四边形，

于是MN∥AT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB.

(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.

如图，取BC的中点E，连接AE，由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.

由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM＝×4×＝2，

所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝＝.