Question

16．在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）内接四边形ABCD（点A、B、C、D在椭圆上）的对角线AC、BD相交于P（$\frac{1}{b{\;}^{2}}$，$\frac{1}{a{\;}^{2}}$），且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，则直线AB的斜率为（　　）

• A． $\frac{-a{\;}^{2}-c{\;}^{2}}{c{\;}^{2}}$
• B． $\frac{c（λ-1）}{a}$
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的斜率为k．由$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1$，两式相减可得：b²（x₁+x₂）=-a²（y₁+y₂）k，由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，可得$\overrightarrow{OC}$=$（\frac{1+λ-{x}_{1}{b}^{2}}{λ{b}^{2}}，\frac{1+λ-{y}_{1}{a}^{2}}{λ{a}^{2}}）$，代入椭圆的方程可得：$\frac{（1+λ-{x}_{1}{b}^{2}）}{{λ}^{2}{a}^{2}{b}^{4}}$+$\frac{（1+λ-{y}_{1}{a}^{2}）}{{λ}^{2}{a}^{4}{b}^{2}}$=1，同理可得$\frac{（1+λ-{x}_{2}{b}^{2}）}{{λ}^{2}{a}^{2}{b}^{4}}$+$\frac{（1+λ-{y}_{2}{a}^{2}）}{{λ}^{2}{a}^{4}{b}^{2}}$=1．两式相减可得：2（1+λ）-$（{x}_{1}+{x}_{2}）{b}^{2}$+k$[2（1+λ）-（{y}_{1}+{y}_{2}）{a}^{2}]$=0，把（*）代入上式整理即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的斜率为k．
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
两式相减可得：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{b}^{2}}k=0$，
化为b²（x₁+x₂）=-a²（y₁+y₂）k，（*）
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，∴$\overrightarrow{OC}=\frac{1+λ}{λ}\overrightarrow{OP}-\frac{1}{λ}\overrightarrow{OA}$=$（\frac{1+λ-{x}_{1}{b}^{2}}{λ{b}^{2}}，\frac{1+λ-{y}_{1}{a}^{2}}{λ{a}^{2}}）$，
代入椭圆的方程可得：$\frac{（1+λ-{x}_{1}{b}^{2}）}{{λ}^{2}{a}^{2}{b}^{4}}$+$\frac{（1+λ-{y}_{1}{a}^{2}）}{{λ}^{2}{a}^{4}{b}^{2}}$=1，
同理可得$\frac{（1+λ-{x}_{2}{b}^{2}）}{{λ}^{2}{a}^{2}{b}^{4}}$+$\frac{（1+λ-{y}_{2}{a}^{2}）}{{λ}^{2}{a}^{4}{b}^{2}}$=1．
两式相减可得：2（1+λ）-$（{x}_{1}+{x}_{2}）{b}^{2}$+k$[2（1+λ）-（{y}_{1}+{y}_{2}）{a}^{2}]$=0，
把（*）代入上式可得：2（1+λ）+a²（y₁+y₂）k+k$[2（1+λ）-（{y}_{1}+{y}_{2}）{a}^{2}]$=0，
化为k=-1．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、向量的线性运算、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题