题目内容
1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右顶点A是抛物线y2=8x的焦点．直线l：y=k（x-1）与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如果$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．
分析 （Ⅰ）确定椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=k（x-1）与椭圆C联立，确定M的坐标，进一步可得MN中点坐标，由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，即可求k的值．
解答 解：（Ⅰ）抛物线y2=8x，
所以焦点坐标为（2，0），即A（2，0），
所以a=2．
又因为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以c=$\sqrt{3}$．
所以b=1，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$． …（4分）
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$，
所以$\overrightarrow{AM}$=（x1+x2-4，y1+y2），
所以M（x1+x2-2，y1+y2）．
由直线l：y=k（x-1）与椭圆C联立，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0，
得x1+x2-2=-$\frac{2}{4{k}^{2}+1}$，y1+y2=$\frac{-2k}{4{k}^{2}+1}$，
即M（-$\frac{2}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{-2k}{4{k}^{2}+1}$）．
设N（0，y3），则MN中点坐标为（-$\frac{1}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{-k}{4{k}^{2}+1}+\frac{{y}_{3}}{2}$），
因为M，N关于直线l对称，
所以MN的中点在直线l上，
所以$\frac{-k}{4{k}^{2}+1}+\frac{{y}_{3}}{2}$=k（-$\frac{1}{4{k}^{2}+1}$-1），解得y3=-2k，即N（0，-2k）．
由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，
所以$\frac{\frac{-2k}{4{k}^{2}+1}-（-2k）}{\frac{-2}{4{k}^{2}+1}-0}•k=-1$，解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$． …（14分）
点评 本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
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| A． | $\frac{-a{\;}^{2}-c{\;}^{2}}{c{\;}^{2}}$ | B． | $\frac{c（λ-1）}{a}$ | C． | -1 | D． | -2 |
| A． | {2} | B． | {-1} | C． | {$\frac{1}{2}$} | D． | {-1，2} |