Question

【题目】已知函数.

（1）若，，且在上的最大值为，最小值为，试求，的值；

（2）若，，且对任意恒成立，求的取值范围.（用来表示）

Answer 1

【答案】(1)；(2) 当时，；当时，.

【解析】

（1）求得二次函数的对称轴，根据对称轴和区间的位置关系，分类讨论，待定系数即可求得；

（2）对参数进行分类讨论，利用对勾函数的单调性，求得函数的最值，即可容易求得参数范围.

（1）由题可知是开口向下，对称轴为的二次函数，

当时，二次函数在区间上单调递增，

故可得显然不符合题意，故舍去；

当，二次函数在单调递增，在单调递减，

且当时，取得最小值，故，不符合题意，故舍去；

当时，二次函数在处取得最小值，在时取得最大值.

则；，整理得；

则，解得或（舍），

故可得.

综上所述：.

（2）由题可知，

因为对任意恒成立，

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，则，且.

因为，故可得.

①当，即时，

在区间单调递减，

故，

则，

解得.

此时，，也即，

故.

②当，即时，

在单调递减，在单调递增.

，即

又因为，，

则，

故的最大值为，

则，解得，

此时，

故可得.

综上所述：

当时，；

当时，.