题目内容
【题目】(本小题满分12分)
已知函数
，函数
.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若不等式
在
上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若
，求证：不等式： 
.
【答案】(1)略（2）
（3）略
【解析】试题分析：对函数求导，讨论
，确定单调区间和单调性；作差构造新函数，利用导数
判断函数的单调性，根据不等式恒成立条件，求出
的范围；借助第二步的结论，证明不等式.
试题解析：
（Ⅰ）
， 
当
时，增区间
，无减区间
当
时，增区间
，减区间
（Ⅱ）
即
在
上恒成立
设
，考虑到
，在
上为增函数
， 
当
时， 
在
上为增函数， 
恒成立
当
时， 
， 
在
上为增函数
，在
上， 
， 
递减，
，这时不合题意，
综上所述， 
（Ⅲ）要证明在
上， 
只需证明
由（Ⅱ）当a=0时，在
上， 
恒成立
再令
在
上， 
， 
递增，所以
即
，相加，得
所以原不等式成立.
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