Question

（理科）设函数f（x）=lnx-x+1，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：lnx≤x-1；
（Ⅲ）证明：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

(n∈N+，n≥2)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由导数f'（x）＞0求得x的范围，即为函数的增区间，同理，由导数f'（x）＜0求得x的范围，即为函数的减区间．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当x=1时，f（x）_max=-1+1=0．故对任意x＞0，有f（x）≤0，由此化简可得要证的不等式．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x≥2时，则

lnx

x

≤1-

1

x

，

lnn2

n2

≤1-

1

n2

(n≥2且n∈N+)，故不等式的左边小于(n-1)-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)，再由

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n-1

，可得

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

-

1

n+1

，从而证得不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）由已知得x＞0，f′(x)=

1

x

-1，由f'（x）＞0，得

1

x

-1＜0，

1

x

＜1，x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，在（0，1）为增函数．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当x=1时，f（x）_max=-1+1=0．
对任意x＞0，有f（x）≤0，即lnx-x+1≤0．  即lnx≤x-1．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

lnx

x

≤1-

1

x

，当x≥2时，则

lnx

x

≤1-

1

x

，
∴

lnn2

n2

≤1-

1

n2

(n≥2且n∈N+)，∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜(1-

1

22

)+(1-

1

32

)+…+(1-

1

n2

)=(n-1)-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
又

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n-1

，
∴

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

-

1

n+1

故不等式的左边小于n-1-

1

2

+

1

n+1

=n-

3

2

+

1

n+1

=

2n2-n-1

2(n+1)

，故要证的不等式成立．…（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，体现了转化的数学思想，其中，用放缩法证明不等式，是解题的难点．