Question

下列函数中，最小值为4的函数是（　　）

• A．y=lgx+

  4

  lgx

      （x＞0）
• B．y=sinx+

  4

  sinx

     （0＜x＜π）
• C．y=a^x+4a^-x  （a＞0，a≠1）
• D．y=x+

  4

  x-1

    （x＞1）

Answer 1

分析：由于lgx可正可负，则y=lgx+

4

lgx

的值可为负数
令t=sinx，则t∈（0，1]y=sinx+

4

sinx

=t+

4

t

在（0，1]上单调递减，可求最小值
由于a^x＞0，则y=a^x+

4

ax

≥2

ax• 4 ax

可求最小值
x＞1可得x-1＞0，y=x+

4

x-1

=x-1+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1可求最小值

解答：解：由于当x＞0时，lgx可正可负，则y=lgx+

4

lgx

的值可为负数，故A错误
令t=sinx，则t∈（0，1]y=sinx+

4

sinx

=t+

4

t

在（0，1]上单调递减，则t=1时，函数有最小值5，故B错误
由于a^x＞0，则y=a^x+

4

ax

≥2

ax• 4 ax

=4，当且仅当ax=

4

ax

即a^x=2时取等号，即函数的最小值为4
x＞1可得x-1＞0，y=x+

4

x-1

=x-1+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1=5，故函数的最小值5
故选C

点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，要注意一正二定三相等条件的判断，还要注意函数单调性的应用