Question

【题目】已知函数，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若存在，使得，求实数的取值范围；

（3）若对于恒成立，试问是否存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）不存在实数，使得成立.

【解析】

（1）由可得，根据指数函数的单调性可得，从而可得结果；

（2）设函数，在区间上的值域分别为，，存在，使得，等价于，根据单调性求出两个函数的值域，利用交集的定义列不等式求解即可；（3）由对于恒成立，可得，且，结合函数的单调性可得，，从而可得结果.

（1）即，∴，∴.

（2）设函数，在区间上的值域分别为，，

因为存在，使得，

所以，

∵在上为增函数，∴，

∵，，∴，∴.

∴即.

（3）∵对于恒成立，

∴，，且.

∵为增函数，且时，，∴.

∴，

∴不存在实数，使得成立.