Question

已知．
（1）若a=-8，判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在定义域上有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=-8时，=≥0，由此得到f（x）在定义域上单调递增．
（2）=，由f（x）在定义域上有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），知f′（x）=0有两个不相等的正实数根x₁，x₂，由此推导出等价于=，由此能够证明．
解答：（1）解：当a=-8时，f（x）=2lnx-，x＞0，
则=≥0，
∴f（x）在定义域上单调递增．
（2）证明：∵
=，
∵f（x）在定义域上有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴f′（x）=0有两个不相等的正实数根x₁，x₂，
则，
而f（x₁）+f（x₂）=2lnx₁++2lnx₂+
=
=2ln（x₁x₂）+a•=a，
∵，
∴等价于=，
也就是要证明：对任意x＞0，有lnx≤x-1，
令g（x）=lnx-x+1，（x＞0），
由于g（1）=0，并且，
当x＞1时，g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上为减函数；
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，1）上为增函数，
∴g（x）在（0，+∞）上有最大值g（1）=0，即g（x）≤0，
故．
点评：本题考查函数单调性的求法，考查不等式恒成立的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．