Question

9．已知α，β，γ∈[0，2π]且sin（α-β）=$\frac{1}{4}$，则sin（α-γ）+cos（β-γ）的最大值为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的三角公式求得sin（α-γ），根据sin（α-β）=$\frac{1}{4}$，可得cos（α-β）=±$\frac{\sqrt{15}}{4}$，再根据sin（α-γ）+cos（β-γ）=$\frac{5}{4}$cos（β-γ）±$\frac{\sqrt{15}}{4}$sin（β-γ），从而求得它的最大值．

解答 解：∵α，β，γ∈[0，2π]且sin（α-γ）=sin[（α-β）+（β-γ）]=sin（α-β）cos（β-γ）+cos（α-β）sin（β-γ），
∵sin（α-β）=$\frac{1}{4}$，∴cos（α-β）=±$\frac{\sqrt{15}}{4}$，∴sin（α-γ）=$\frac{1}{4}$cos（β-γ）±$\frac{\sqrt{15}}{4}$sin（β-γ），
故sin（α-γ）+cos（β-γ）=$\frac{1}{4}$cos（β-γ）±$\frac{\sqrt{15}}{4}$sin（β-γ）+cos（β-γ）=$\frac{5}{4}$cos（β-γ）±$\frac{\sqrt{15}}{4}$sin（β-γ）
≤$\sqrt{{（\frac{5}{4}）}^{2}{+（±\frac{\sqrt{15}}{4}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故sin（α-γ）+cos（β-γ）=的最大值为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，辅助角公式的应用，求函数的最值，属于中档题．