题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点，若
|PF1|2
|PF2|
的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
分析：由定义知：|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，
|PF1|2
|PF2|
=
(2a+|PF2|)2
|PF2|
=
4a2
|PF2|
+4a+|PF2| ≥8a，当且仅当
4a2
|PF2|
=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号．再利用三线段长的关系，可求得双曲线的离心率的取值范围．
解答：解：∵双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点
∴|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，
∴
|PF1|2
|PF2|
=
(2a+|PF2|)2
|PF2|
=
4a2
|PF2|
+4a+|PF2| ≥8a，
当且仅当
4a2
|PF2|
=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号
∴|PF1|=2a+|PF2|=4a
∵|PF1|-|PF2|=2a＜2c，|PF1|+|PF2|=6a≥2c，
∴e∈（1，3]
故选D．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x，则双曲线的离心率为
5
3
5
3
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）满足| 
a1
b
2
 |=0，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，则该双曲线的方程为
 
．

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