Question

已知抛物线方程为y²=2px（p＞0）．
（1）若点在抛物线上，求抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程；
（2）在（1）的条件下，若过焦点F且倾斜角为60°的直线m交抛物线于A、B两点，点M在抛物线的准线l上，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，求证：k_MA、k_MF、k_MB成等差数列；
（3）对（2）中的结论加以推广，使得（2）中的结论成为推广后命题的特例，请写出推广命题，并给予证明．
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．

Answer 1

【答案】分析：（1）由在抛物线上，得p=2，由此能导出抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程．
（2）抛物线的方程为y²=4x，过焦点F（1，0）且倾斜角为60°的直线m的方程为，由可得3x²-10x+3=0，解得点A、B的坐标为，，由此能导出k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．
（3）①推广命题：若抛物线的方程为y²=4x，过焦点F的直线m交抛物线于A、B两点，M为抛物线准线上的一点，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，则k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．再由抛物线的性质和韦达定理进行证明．
②推广命题：若抛物线的方程为y²=2px（p＞0），过焦点F的直线m交抛物线于A、B两点，M为抛物线准线上的一点，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，则k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．再由抛物线的性质结合分类讨论思想进行证明．
解答：解：（1）∵在抛物线上，由得p=2
∴抛物线的焦点坐标为F（1，0），
准线l的方程为x=-1
（2）证明：∵抛物线的方程为y²=4x，过焦点F（1，0）且倾斜角为60°的直线m的方程为
由可得3x²-10x+3=0
解得点A、B的坐标为，
∵抛物线的准线方程为x=-1，设点M的坐标为M（-1，t），
则，，，
由
知k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．
（3）本小题可根考生不同的答题情况给予评分
①推广命题：若抛物线的方程为y²=4x，过焦点F的直线m交抛物线于A、B两点，M为抛物线准线上的一点，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，则k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．
证明：
抛物线y²=4x的焦点坐标为F（1，0），当直线l₁平行于y轴时，
由（2）知命题成立．
设M点坐标为M（-1，t）
当直线m不平行于y轴时，设m的方程为y=k（x-1），其与抛物线的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有，
由得ky²-4y-4k=0，即y₁y₂=-4，=，∴k_MA+k_MB=2k_MF，即k_MA、k_MF、k_MB成等差数列
②推广命题：若抛物线的方程为y²=2px（p＞0），过焦点F的直线m交抛物线于A、B两点，M为抛物线准线上的一点，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，则k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．
证明：抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为，设M点坐标为
设m与抛物线的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有，
（ⅰ）当直线m平行于y轴时，直线m的方程为，
此时有，∴y₁y₂=-p²
（ⅱ）当直线m不平行于y轴时，直线m的方程可设为
由得∴y₁y₂=-p²，=，
∴k_MA+k_MB=2k_MF，即k_MA、k_MF、k_MB成等差数列
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．