题目内容

△ABC的三个顶点A，B，C均在椭圆 $数学公式$ 上，椭圆右焦点F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|的值为________．

$\text{[math]}$
分析：本填空题采用取特殊位置的方法求解，设点A是椭圆短轴的上端点，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）进而根据椭圆方程求得b和c，进而可求得A，F₁的坐标，根据三角形的重心的性质可分别求得x₁+x₂和y₁+y₂，把B，C点代入椭圆方程后两式相减，进而求得直线BC的斜率，设出直线BC的方程，把B，C点坐标代入两式相加求得b，则直线BC方程可得，从而得出B，C的坐标，最后利用两点间的距离公式即可求得．
解答：设点A是椭圆短轴的上端点，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
椭圆方程得 $\text{[math]}$
∴b= $\text{[math]}$ a=2
∴c=1，则A（0， $\text{[math]}$ ） F（1，0）
∴ $\text{[math]}$ =1，x₁+x₂=3
同理y₁+y₂=- $\text{[math]}$
又3（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）×k=0
∴k= $\text{[math]}$ ，k为BC斜率
令BC直线为：y= $\text{[math]}$ x+m
则：y₁+y₂= $\text{[math]}$ （x₁+x₂）+2m
b=- $\text{[math]}$
∴BC直线为：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 代入椭圆的方程求得B（2，- $\text{[math]}$ ），C（1，- $\text{[math]}$ ）．
利用两点是的距离公式得：则|AF|+|BF|+|CF|= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．