Question

已知四棱锥P-ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．
（1）求正视图的面积；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）求证：AC⊥平面PAB．

Answer 1

【答案】分析：（1）过A作AE∥CD，可得E是BC的中点，且BE=CE=AE=CD=1．正三角形PBC中，算出中线PE=，由PA⊥平面ABCD，在Rt△PAE中，算出PA=即为正视图三角形的高长，由此结合BC=2即可求出正视图的面积；
（2）由（1）的证明，结合题意可得四棱锥P-ABCD是以PA为高、底面ABCD是直角梯形的四棱锥，结合题中的数据即可算出四棱锥P-ABCD的体积；
（3）分别在在Rt△ABE、Rt△ADC中，算出AB=AC=，结合BC=2利用勾股定理的逆定理证出AC⊥AB，再由PA⊥平面ABCD得PA⊥AC，根据线面垂直的判定定理即可证出AC⊥平面PAB．
解答：解：（1）过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，（1 分）
且BE=CE=1，AE=CD=1（2 分）
又∵△PBC为正三角形，∴BC=PB=PC=2，且PE⊥BC
∴PE²=PC²-CE²=3（3 分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE（4 分）
可得PA²=PE²-AE²=2，即（5 分）
因此，正视图的面积为（6 分）
（2）由（1）可知，四棱锥P-ABCD的高为PA，，（7 分）
底面积为（8分）
∴四棱锥P-ABCD的体积为（10 分）
（3）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC（11 分）
∵在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=2，在Rt△ADC中，AC²=AD²+CD²=2（12 分）
∴BC²=4=AA²+AC²，可得△BAC是直角三角形      （13 分）
∴AC⊥AB．
由此结合AB∩PA=A，可得AC⊥平面PAB（14 分）
点评：本题给出四棱锥的三视图的形状，求证线面垂直并求四棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体体积公式和三视图的认识与理解等知识，属于中档题．